What is the value of the expression '3(m-n)-32(m-n)+(m-n)'?

বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ (Subtraction of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশি থেকে অন্য একটি বীজগাণিতিক রাশি বাদ দেওয়াকে বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বীজগাণিতিক রাশির বিয়োগ করার সময় সমজাতীয় পদগুলোর সহগ বিয়োগ করতে হয়।

সমজাতীয় পদ (Like Terms)

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই হয়, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$5x,2x,-3x$

রাশির বিয়োগের নিয়ম

• বিয়োগ চিহ্নের পরের রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করতে হবে
• সমজাতীয় পদগুলো একত্র করতে হবে
• সহগগুলোর বিয়োগ করতে হবে

উদাহরণ ১

নিচের রাশিদ্বয়ের বিয়োগ নির্ণয় করি:

$(7x+5y)-(3x+2y)$

চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই:

$7x+5y-3x-2y$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$4x+3y$

উদাহরণ ২

নিচের রাশির বিয়োগ নির্ণয় করি:

$(8a^2+4a-6)-(3a^2+a-2)$

সমাধান:

$8a^2+4a-6-3a^2-a+2$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$5a^2+3a-4$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• বিয়োগের সময় চিহ্ন পরিবর্তন করতে হয়
• শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ বিয়োগ করা যায়
• চলক ও ঘাত একই থাকতে হবে
• অসমজাতীয় পদ আলাদা থাকবে

মনে রাখার উপায়

“ব্র্যাকেট খুললে চিহ্ন বদলাবে, তারপর সমজাতীয় পদ একত্র হবে” — এই নিয়ম মনে রাখলে বীজগাণিতিক রাশির বিয়োগ সহজ হয়।

a - b = a + (- b)

একটি বীজগণিতীয় রাশি থেকে অপর একটি বীজগণিতীয় রাশি বিয়োগ করার ক্ষেত্রে, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশির যোগাত্মক বিপরীত রাশি যোগ করা হয়। অর্থাৎ, বিয়োজ্য বা দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে প্রাপ্ত রাশিকে প্রথম রাশির সাথে যোগ করা।

উদাহরণ ৩। 5a+ 4b -5c থেকে 3a - 4b - 6c বিয়োগ কর।

সমাধান:

বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

- 3a + 4b + 6c

এখন রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

বিকল্প পদ্ধতি:

এখানেও চিহ্ন পরিবর্তন করে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ৪। $5x^2-4x^{2}y+5x{y}^2$ থেকে $-3x{y}^2-4x^{2}y+5x^2$ বিয়োগ কর।

সমাধান: বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

$3x{y}^2+4x^{2}y-5x^2$

এখন প্রথম রাশির সাথে রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

নির্ণেয় বিয়োগফল $8x{y}^2$

উদাহরণ ৫। বিয়োগ কর:

(i) 4xy + 2yz + 5zx থেকে 3xy - yz + 2zx
(ii) 3ab + bc - 4ca - 5 থেকে 2ab - 2bc - 5ca - 6

সমাধান:
(i)

নির্ণেয় বিয়োগফল xy + 3yz + 3zx

(ii)

নির্ণেয় বিয়োগফল ab + 3bc + ca + 1

লক্ষ করি: প্রথম রাশি লেখার পর দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে লিখে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ৬। p,q,r তিনটি বীজগনিতীয় রাশি যেখানে

p = 7a + 5b + 6c q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a

(ক) a = 1 b = 2 এবং c = 3 হলে ৭ এর মান নির্নয় কর?
(খ) 2p-3q+5r মান নির্নয় কর?
(গ) প্রমান কর যে, প্রদত্ত রাশি গুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান।

সমাধান:

(ক) q = 3a - b + 9c

=3.1-2+9.3 [মান বসিয়ে]

=3-2+27

=30-2

=28

(খ)

2p-3q+5r
2(7a+5b+6c)-3 (3a-b+9c)+5 (- 3c + 6b + 4a) [মান বসিয়ে]
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c - 15c + 30b + 20a
= 14a + 20a - 9a + 10b + 3b + 30b + 12c - 27c - 15c
=25a+43b-30c

(গ) সদৃশ পদ গুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই

7a + 5b + 6c
3a-b+9c
(+) 4a+6b-3c
14a+10b+12c

রাশিগুলোর যোগফল
= 14a + 10b + 12c
= 2(7a + 5b + 6c)
= 2p

রাশিগুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান। (প্রমানিত)